Las funciones

Funciones y dominios

Una función real 

$f$

 de una variable real es una regla que asigna a cada número real 

$x$

 en un conjunto especificado de números reales llamado el dominio de 

$f,$

 un número real úniquo 

$f(x),$

 que se lee '

$f$

 de 

$x.$

'

La cantidad 

$x$

 se llama el argumento de 

$f$

 y a 

$f(x)$

 se llama el valor de 

$f$

 en 

$x.$

Una función se puede especificar

numéricamente por medio de una tabla,
graphically por medio de una gráfica
algebraically por medio de una fórmula,

y también en otras maneras.

Nota sobre los dominios

El dominio de una función no es siempre explícitamente especificada; cuando no se especifica algún dominio para una función 

$f,$

 supondremos que el dominio es el conjunto más grande de los números 

$x$

 para los cuales tiene sentido 

$f(x).$

 Esta 'dominio más grande posible' se le llama a veces el dominio natural.

Utilidades

Evaluador y gráficador de funciones: Evaluar y dibujar funciones. 
Gráficador Excel: Descargar una hoja Excel® que traza gráficas.

Intervalos
El intervalo cerrado 

$[a,b]$

 es el conjunto de todos números reales 

$x$

 tal que 

$a \leq x \leq b.$

El intervalo abierto 

$(a,b)$

 es el conjunto de todos números reales 

$x$

 tal que 

$a < x < b.$

El intervalo 

$(a,+\infty)$

 es el conjunto de todos números reales 

$x$

 tal que 

$a < x < +\infty.$

El intervalo 

$(-\infty,b)$

 es el conjunto de todos números reales 

$x$

 tal que 

$-\infty < x < b.$

Tenemos también intervalos medios abiertos de la forma

$[a, b)$

 y 

$(a, b].$

Ejemplo: Intervalos

Intervalo	Dibujo	Descripción
$[-1,6)$		$-1 \leq x < 6$
$(2,4)$		$2 < x < 4$
$(-\infty,0]$		$-\infty < x \leq 0$

Gráfica de una función
La gráfica de una función 

$f$

 es el conjunto de todos los puntos de la forma 

$(a, f(a))$

 en el plano-

$xy,$

 tal que restringimos los valores de 

$a$

 al estar en el dominio de 

$f.$

La siguiente diagrama muestra la gráfica de una función: Prueba de la recta vertical
Para que una gráfica sea la gráfica de una función, cada recta vertical debe intersecarse con la gráfica en un solo punto.

Ejemplos: Gráfica de una función
Dibujar una gráfica: Para dibujar la gráfica de

$f(x)=2x^2-3x+1 \qquad$
 Forma de función

con dominio 

$[0,+\infty),$

 reemplazamos 

$f(x)$

 por 

$y,$

 obteniendo la ecuación

$y=2x^2-3x+1 \qquad \quad \$
 Forma de ecuación

Entonces obtenemos la gráfica por trazar puntos, donde restringimos a 

$x$

 al estar en 

$[0,+\infty),$

 y obtenemos el siguiente dibujo:

Funciones definidas a trozos
A veces se necesita usar dos o más formulas para especificar una sola función algebraicamente. Una función definida a trozos es una función cuya definición algebráica cambia dependiendo del valor del argumento.
Por ejemplo, una función definida a trozos con tres fórmulas podría verse como sigue:

$\displaystyle f(x) = \begin{cases} p(x) &\text{ si } x < a\\q(x) &\text{ si } a \leq x \leq b\\r(x) &\text{ si } x > b\end{cases}$

en cual caso su gráfica tendría la siguiente forma:

$y=p(x)$

$y=q(x)$

$y=r(x)$

Notación función y ecuación
A veces, en lugar de escribir, por ejemplo,

	$f(x) = 5x^2-4x+1$		Notación función
podemos escribir
	$y = 5x^2-4x+1$		Notación ecuación
o tal vez
	$f = 5x^2-4x+1.$		Podemos utilizar cualquier letra.

En una ecuación de la forma 

$y=$

 Expresión en 

$x$

, llamamos al argumento 

$x$

 la variable independiente, y a 

$y$

 la variable dependiente (porque el valor de 

$y$

 depende de una elección de un valor para 

$x.$

Ejemplo: Notación función y ecuación
Podemos pensar en la ecuación 

$C = -55x^2 - 8x$

 en dos maneras:

1. Como una ecuación con variable independiente 
$x$
 y variable dependiente 
$C.$

2. Como especificar una función: 
$C(x) = -55x^2 - 8x$

por lo que a veces decimos que '

$C$

 es una función de 

$x$

.'

Modelos matemáticos
Modelar matemáticamente una situación significa representarlo en términos matemáticos. La representación particular utilizado se llama un modelo matemático de la situación.
Tipos de modelos
Modelos analíticos se obtienen a través por analizar la situación que se modela,
Modelos de ajuste de curvas se obtienen por utilizar fórmulas matemáticas que aproximan los datos observados.

Ejemplos: Modelos matemáticos
Modelos analíticos:
la temepratura en marte es ahora −80°F y creciendo por 20°F por hora.

Modelo: 
$T(t) = -80 + 20t$
 (
$t$
 = tiempo en horas, 
$T$
 = temperatura)

Modelos costo, ingreso y utilidad
Una función costo especifica el costo 

$C$

 como una función del número de artículos 

$x.$

 En consecuencia, 

$C(x)$

 es el costo de 

$x$

 artículos, y tiene la forma

Costo = Costo variable + Costo fijo

en la que el costo variable es una función de 

$x$

 y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma

$C(x) = mx + b$

se llama una función costo lineal; el costo variable es 

$mx$

 y el cost fijo es 

$b.$

 La pendiente 

$m,$

 el costo marginal, mide el costo incremental por artículo.
Una función ingreso 

$R$

 especifica el ingreso 

$R(x)$

 que resulta de la venta de 

$x$

 artículos. Si el precio se fije en \dollar 

$k$

 por artículo, entonces

Ingreso = Precio × cantidad

$R(x) = kx.$

Una función utilidad 

$P$

 especifica la utilidad (ingreso neto) 

$P(x)$

 que resulta de la venta de 

$x$

 artículos. Las funciones costo, ingreso y utilidad se relacionan con la formula

$P(x) = R(x)-C(x)$

Equilibrio se ocurre cuando

$P(x) = 0$

o, equivalentemente, cuando

$R(x)=C(x)$

Modelos demanda y oferta
Una función (de) demanda expresa la demanda 

$q$

 (el número de artículos solicitados) como una función del precio unidad 

$p$

 (el precio por artículo). Una función de oferta expresa la oferta 

$q$

 (el número de articulos un proveedor está dispuesto a llevar al mercado) como una función del precio unidad 

$p$

 (el precio por artículo). Es normalmente el caso que la demanda disminuye y la oferta sube a medida que el precio sube.
La demanda son en equilibrio cuando son iguales. Los valores correspondientes de 

$p$

 y 

$q$

 se llaman precio de equilibrio y demanda de equilibrio. Para hallar el precio de equilibrio, determine el precio unitario 

$p$

donde cruzan las curvas de demanda y oferta (a veces podemos determinar este valor analíticamente por igualar las funciones de demanda y oferta y despejar a 

$p$

). Para hallar la demanda de equilibrio, evalúe la demanda (o oferta) con el precio equilibrio.
a demanda son en equilibrio cuando son iguales. Los valores correspondientes de 

$p$

 y 

$q$

 se llaman precio de equilibrio y demanda de equilibrio. Para hallar el precio de equilibrio, determine el precio unitario 

$p$

donde cruzan las curvas de demanda y oferta (a veces podemos determinar este valor analíticamente por igualar las funciones de demanda y oferta y despejar a 

$p$

). Para hallar la demanda de equilibrio, evalúe la demanda (o oferta) con el precio equilibrio.

Ejemplos: Modelos demanda y oferta
Si la demanda para las Botas Wellington de Ludington es 

$q = -4.5p + 4,000$

 pares vendidos por semana y la oferta es 

$q = 50p - 1,995$

 pares por semana (vea la gráfica más abajo), entonces se obtiene el precio de equilibrio cuando la demanda = la oferta:

$-4.5p+4,000 = 50p-1,995$


$54.5p = 5,995$

que se da 

$p = 5995/54.5 = \$110.$

Sigue que el precio equilibrio es \dollar 110 y la demanda de equilibrio es 

$q = -4.5(110) + 4,000 = 3505$

 pares por semana. Lo que ocurre a precios distintos del precio de equilibrio se puede ver en la figura siguiente:

• Cuando el precio es debajo del precio de equilibrio, es mayor la demanda que la oferta, y se resulta una escasez.
• Cuando el precio es igual al precio de equilibrio, no hay escasez ni excedente, y decimos que el mercado es liquido o está despejado.
• Cuando el precio es arriba del precio de equilibrio, es mayor la oferta que la demanda, y se resulta una excedente.